[数1] 2次式の因数分解

ここでは因数分解において必要な「共通因数」の考え方と、「2次式の因数分解」をみていきます。
因数分解は方程式を解くときなど、必要になる場面が少なくありません。公式を確認し、実際に計算できるようにしましょう。

因数分解とは

因数分解とは、1つの多項式を、いくつかの多項式の積で表すことをいいます。

因数分解とは、いわば展開の逆のような操作です。

たとえば、\(2(x+y)\) は、
\(2(x+y)=2x+2y\) と展開できるのでした。

この計算の逆をたどると、
\(2x+2y=2(x+y)\) となり、
\(2x+2y\) を2つの多項式
\(2\) と \(x+y\) の積で表しています。

もう一つ例をあげてみましょう。

\((x+2)(x-2)\) は、
\((x+2)(x-2)=x^2-4\)
のように展開できるのでした。

この計算の逆をたどると
\(x^2-4=(x+2)(x-2)\) となり、
\(x^2-4\) を2つの多項式
\(x+2\) と \(x-2\) の積で表しています。

これが因数分解です。

「因数分解とは展開の逆をたどること」だと思っていればよいです。

なお、因数分解してでてくる一つ一つの式を、因数といいます。

共通因数でくくる

本題である2次式の因数分解をみる前に、
まずは「共通因数でくくる」ことをみましょう。

共通因数

共通因数とは、すべての項に共通してふくまれる因数のことをいいます。

たとえば、\(2x\)と\(2y\) の共通因数は \(2\) となります。

また、

\(3x^2y^3=3x^2y^2{\times}y\)、
\(6x^3y^2=3x^2y^2{\times}2x\)
であるので、

\(3x^2y^3\) と \(6x^3y^2\)
の共通因数は \(3x^2y^2\)となります。

共通因数でくくる

因数分解を考えるときは、まずは共通因数でくくりましょう。

\(2x^2+4xy+4zx=2x(x+2y+2z)\)、
\(al+3am-4an=a(l+3m-4n)\)

のような具合です。

2次式の因数分解

2次式の因数分解公式

さきほど例の因数分解は\(x\) の2次式の因数分解でした。

またこれ以外にも、

\(x\)の2次式 \((x-3)(x+2)\)

を展開すると \(x^2-x-6\) になりますので、

\(x^2-x-6=(x-3)(x+2)\) と因数分解できます。

このように、2次式の因数分解を計算することはよくあります。
(中学校でやった記憶がある人もいますよね？)

そのときには、「2次式の因数分解公式」を使うと効率よく計算できます。

まずは公式を確認しましょう。

たとえば、公式(3)より
\(x^2-9=x^2-3^2=(x+3)(x-3)\) 、

公式(4)より
\(x^2+5x+6=x^2+(3+2)x+3\cdot2=(x+3)(x+2)\)

のように因数分解できます。

なお、公式が成り立つことは、右辺を展開することで確認できます。

\((a+b)^2\) を展開すると
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
となるので、(1)が成り立つことがわかります。

\((a+b)(a-b)\) を展開すると
\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)
となるので、(3)が成り立つこともわかります。

残りの式も同じように示すことができます。
自分で確認してみましょう。

因数分解の計算:その1

ここまでで2次式の因数分解公式を確認しました。

では早速実際に計算をしてみましょう。
(ヒント：まずは共通因数をくくりだす。)

因数分解の計算:その2

\(x^2+5x+6\) を因数分解するとき、次のように考えます。
(中学で習って覚えている人は、とばしてもらって構いません。）

要は、掛けて \(6\)、足して \(5\) になる2つの数字を見つければよいのです。
ポイントは、先にかけて \(6\) になる整数の組を先に見つけて、そのあとに足して \(5\) になる組を見つけることです。

次の例題も同じように解いてみましょう。

因数分解の計算：その3

\(2x^2+11x+15\) を先ほどの方法で因数分解しようとしてもできません。
このようなとき、

たすき掛け

を使って因数分解します。

たすき掛けの考え方はとても大事ですので、できるようにしておきましょう。

たすき掛けは、次のような手順で行います。

同じようにして、次の問題を解いてみましょう。