[数1] 指数法則

指数法則は計算を行う上でとても重要です。ポイントをおさえましょう。

指数法則

指数の確認

まずは指数の意味を確認しましょう。

実数 \(a\) と自然数 \(m\) に対し、\(a\) を \(m\) 回掛け算したものを \(a^m\) と書きます。
つまり、\(a^m=\underbrace{a{\times}a{\times}\cdots{\cdots}a}_{m個}\) です。
例えば、
\(2^4=2\times2\times2\times2\) 、
\(3^5=3\times3\times3\times3\times3\)、といった具合です。

指数法則

指数の計算をするきに使える、いくつかの便利な公式があります。
これを使えるようになると、計算がぐっと楽になります！

それが以下の「指数法則」です。

たとえば、\(10^3{\times}10^5=10^{(3+5)}=10^8\) のように計算することができます。

\(a^m\) は \(a\) を \(m\) 回掛け算したもの、\(a^n\) は \(a\) を \(n\) 回掛け算したものなので、\(a^m{\times}a^n=(\underbrace{a{\times}a{\times}\cdots{\times}a}_{m個}){\times}(\underbrace{a{\times}a{\times}\cdots{\times}a}_{n個})=\underbrace{a{\times}a{\times}\cdots{\times}a}_{m+n個}=a^{m+n}\)

同じように、\((a^m)^n=\underbrace{(\underbrace{a{\times}a{\times}\cdots{\times}a}_{m個}){\times}(\underbrace{a{\times}a{\times}\cdots{\times}a}_{m個}){\times}\cdots{\times}(\underbrace{a{\times}a{\times}\cdots{\times}a}_{m個})}_{n個}\)
\(=\underbrace{a{\times}a{\times}\cdots{\times}a}_{m{\times}n個}=a^{mn}\)

\((a{\times}b)^m=\underbrace{(a{\times}b){\times}(a{\times}b){\times}\cdots{\times}(a{\times}b)}_{m個}=\underbrace{(a{\times}a{\times}\cdots{\times}a)}_{m個}\times\underbrace{(b{\times}b{\times}\cdots{\times}b)}_{m個}=a^m{\times}b^m\)

\(\left (\dfrac{a}{b} \right)^m=\underbrace{\dfrac{a}{b}{\times}\dfrac{a}{b}{\times}\cdots{\times}\dfrac{a}{b}}_{m個}=\underbrace{\dfrac{a{\times}a{\times}\cdots{\times}a}{b{\times}b{\times}\cdots{\times}b}}_{m個}=\dfrac{a^m}{b^m}\)

よって、等式が成り立つことが分かります。

指数が自然数でないときも同様の指数法則が成り立ちますが、そちらは数2で扱います。

指数法則を使った計算

上で指数法則を確認しました。実際に指数法則を使って問題を解いてみましょう。
いくつかの指数法則を組み合わせることもあります。

まずは数字の計算をやってみましょう。

指数法則はこのように使います。

もちろん、文字式の計算をするときにも、同じように指数法則が使えます。

次は文字式にも指数法則を使ってみましょう。