展開公式を覚えることで、計算がとても楽になります。頑張って覚えましょう！
ここでは展開公式、そしてそれを利用した計算方法を学びます。
2次式の展開公式
まずは2次式の展開公式をみていきましょう。
- \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
- \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
- \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)
- \((x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\)
- \((ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd\)
\((3x+2y)^2=(3x)^2+2\cdot(3x)\cdot(2y)+(2y)^2=9x^2+12xy+4y^2\)
\((2x+1)(2x-1)=(2x)^2-1^2=4x^2-1\)
\((x+2)(2x+4)=(1x+2)(2x+4)=((1\cdot2)x^2+(1\cdot4+2\cdot2)x+(2\cdot4))=2x^2+8x+8\)
のように計算すればよい。
次の式を展開せよ。
(1) \((2x-3y)^2\)
(2) \((5x+2y)(5x-2y)\)
(3) \((x+4)(x+2)\)
(4) \((3x+1)(4x+3)\)
(1)
\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) を使って、\((2x-3y)^2=(2x)^2-2\cdot(2x)\cdot(3y)+(3y)^2=4x^2-12xy+9y^2\)
(2)
\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) を使って、\((5x+2y)(5x-2y)=(5x)^2-(2y)^2=25x^2-4y^2\)
(3)
\((x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\) を使って、\((x+4)(x+2)=x^2+(4+2)x+4\cdot2=x^2+6x+8\)
(4)
\((ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd\) を使って、\((3x+1)(4x+3)=3{\cdot}4x^2+(3\cdot3+1\cdot4)x+1\cdot3=12x^2+13x+3\)
3次式の展開公式
ここまでは2次式の展開公式をみてきました。次は3次式の展開公式をみていきましょう。
- \((a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\)
- \((a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\)
- \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
- \((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)
\((x+1)(x^2-x+1)=(x+1)(x^2-1{\cdot}x+1^2)=x^3+1^3=x^3+1\)
\((2x+y)^3=(2x)^3+3\cdot(2x)^2{\cdot}y+3\cdot(2x){\cdot}y^2+y^3=8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3\)
のように計算すればよい。
次の式を展開せよ。
(1) \((2x+3)(4x^2-6x+9)\)
(2) \((3m-n)(9m^2+3mn+n^2)\)
(3) \((2x+5y)^3\)
(4) \((x-2y)^3\)
(1)
\((a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\) を使って、\((2x+3)(4x^2-6x+9)=(2x+3)((2x)^2-2x\cdot3+3^2)\)
\(=(2x)^3+3^3=8x^3+27\)
(2)
\((a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\) を使って、\((3m-n)(9m^2+3mn+n^2)=(3m-n)((3m)^2+3m{\cdot}n+n^2)\)
\(=(3m)^3-n^3=27m^3-n^3\)
(3)
\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\) を使って、\((2x+5y)^3=(2x)^3+3\cdot(2x)^2\cdot5y+3\cdot2x\cdot(5y)^2+(5y)^3\)
\(=8x^3+60x^2y+150xy^3+125y^3\)
(4)
\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\) を使って、\((x-2y)^3=x^3-3{\cdot}x^2\cdot2y+3\cdot{x}\cdot(2y)^2-(2y)^3=x^3-6x^2y+12xy^2-8y^3\)
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