実数に関していくつか知っておくべき知識があります。
実数
数の分類
実数をグループ分けすることで、話をしやすくなることがあります。
実数はまず大まかに有理数と無理数に分類されます。
整数 \(m\) と、\(0\) でない整数 \(n\) を用いて \(\dfrac{m}{n}\) と表される数を有理数といい、そうでない数を無理数という。
有理数の定義で大事なのは、\(\dfrac{整数}{整数}\) の形でかける、という部分です。
例えば、円周率 \(\pi\) は \(\dfrac{\pi}{1}\) とかけますが、\(\pi\) は整数でないので、これを理由に「\(\pi\) は有理数である」とはいえません。（実際、\(\pi\) は有理数でない、つまり無理数であることが知られています。）
\(\dfrac{5}{3}\) は \(\dfrac{整数}{整数}\) の形なので有理数。
\(-\dfrac{6}{11}\) は \(\dfrac{-6}{11}\) に等しいので、同じように有理数。
\(-0.945\) は \(\dfrac{-945}{1000}\) に等しいので有理数。
\(\sqrt{9}\) は \(3\)、つまり \(\dfrac{3}{1}\) に等しいので有理数。
なお上のように、一般的に \(n\) が平方数（整数の2乗）のとき、\(\sqrt{n}\) は有理数になります。
次では、さらに小数の分類をみていきます。
- 小数第何位かでおわる小数を有限小数といい、小数点以下無限に数字がつづく小数を無限小数という。
- 無限小数のうち、いくつかの数字の列の繰り返しになっているものを循環小数という。
\(3.235\) は小数第3桁でおわっているので有限小数。
\(6.78787878…\) は小数点以下無限に数字がつづいているので無限小数。
さらに、「\(78\)」という数字の列が繰り返されているので、循環小数でもある。
\(\sqrt{3}\) は \(1.7320508…\) と循環しない小数である。
なお、循環小数は繰り返しの列の最初の数字と最後の数字の上に点を打って表します。
たとえば、\(5.432432432…\) は「\(432\)」という数字の列が続いているので、\(5.\dot{4}3\dot{2}\) のように表します。
最後に、上の2つのグループ分けの関係をみましょう。
- 有理数は必ず有限小数か、循環小数である。
- 無理数は必ず循環しない無限小数である。
なお、逆に有限小数と循環小数は必ず有理数になり、循環しない無限小数は必ず無理数になります。
例えば、循環小数 \(0.\dot{6}\dot{3}=0.636363…\) は有理数です。
また、\(\pi\) は無理数なので循環しない無限小数です。（ \(\pi\) は \(3.141592653589…\) のように、繰り返しのない小数であることはよく知られていますね。）
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