発展的な相加相乗平均の大小関係とその証明・応用例

証明

\(n\)に関する帰納法によって証明する。\(n \geqq 2\)とし, \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}>0\)とする。

以下\(k \geqq 2\)とする。

[1]\(n=2\)のとき
2つの正の実数に対する相加相乗平均の大小関係から, \(\dfrac{a_{1}+a_{2}}{2} \geqq \sqrt{a_{1}a_{2}}=\sqrt[2]{a_{1}a_{2}}\)が成り立ち, 等号が成り立つのは\(a_{1}=a_{2}\)のときである。よってAM-GMが成り立つ。

[2]\(n=k\)のとき
AM-GMが成り立つ, すなわち
$$\dfrac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k}}{k} \geqq \sqrt[k]{a_{1}a_{2}\cdots a_{k}}$$
が成り立ち, 等号が成り立つのは\(a_{1}=\cdots=a_{k}\)のときであると仮定する。

いま
$$\dfrac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k}+a_{k+1}}{k+1} \geqq \sqrt[k+1]{a_{1}a_{2}\cdots a_{k}a_{k+1}}$$
が成り立ち, 等号が成り立つのは\(a_{1}=\cdots=a_{k}=a_{k+1}\)のときであることを示せばよい。

まず
$$\dfrac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k}+a_{k+1}}{k+1} \geqq \sqrt[k+1]{a_{1}a_{2}\cdots a_{k}a_{k+1}}$$
が成り立つことを示す。そこで
$$f(a_{k+1})=\dfrac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k}+a_{k+1}}{k+1} \ – \ \sqrt[k+1]{a_{1}a_{2}\cdots a_{k}a_{k+1}}$$
とし, これを\(a_{k+1}\)の関数\(f(a_{k+1})\)とみなし, その最小値\(m\)が\(m \geqq 0\)をみたすことを示せばよい（\(a_{k+1}\)のみが動くと考え, \(a_{1}, \ldots a_{k}\)は固定して考える）。

このとき\(f(a_{k+1})\)を\(a_{k+1}\)で微分すると
$$f'(a_{k+1})=\dfrac{1}{k+1}-\dfrac{1}{k+1}(a_{1}\cdots a_{k})^{\frac{1}{k+1}}a_{k+1}^{-\frac{k}{k+1}}$$
であるので, \(f'(a_{k+1})=0\)とすると\(a_{k+1}=(a_{1}\cdots a_{k})^{\frac{1}{k}}\)を得る。

\(0<a_{k+1}<(a_{1}\cdots a_{k})^{\frac{1}{k}}\)のとき\(f'(a_{k+1})<0\), \((a_{1}\cdots a_{k})^{\frac{1}{k}}<a_{k+1}\)のとき\(f'(a_{k+1})>0\)なので, \(f(a_{k+1})\)は\(a_{k+1}=(a_{1}\cdots a_{k})^{\frac{1}{k}}\)において最小値\(f((a_{1}\cdots a_{k})^{\frac{1}{k}})=m\)をとる。

$$
\begin{aligned}
&m=f((a_{1}\cdots a_{k})^{\frac{1}{k}}) \\
&=\dfrac{a_{1}+\cdots+a_{k}+(a_{1}\cdots a_{k})^{\frac{1}{k}}}{k+1}-((a_{1}\cdots a_{k})(a_{1}\cdots a_{k})^{\frac{1}{k}})^{\frac{1}{k+1}} \\
&=\dfrac{a_{1}+\cdots+a_{k}}{k+1}-\dfrac{k}{k+1}(a_{1}+\cdots+a_{k})^{\frac{1}{k}} \\
&=\dfrac{k}{k+1}\left(\dfrac{a_{1}+\cdots+a_{k}}{k}-(a_{1}\cdots a_{k})^{\frac{1}{k}}\right)
\end{aligned} \\
$$
であるが, \(\dfrac{k}{k+1}>0\)であり, 仮定より
$$\dfrac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k}}{k}-(a_{1}\cdots a_{k})^{\frac{1}{k}} \geqq 0$$
なので, \(m \geqq 0\)である。

\(f(a_{k+1}) \geqq m \geqq 0\)なので
$$\dfrac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k}+a_{k+1}}{k+1} \geqq \sqrt[k+1]{a_{1}a_{2}\cdots a_{k}a_{k+1}}$$
が成り立つ。

また, 等号が成り立つのは\(a_{k+1}=(a_{1}\cdots a_{k})^{\frac{1}{k}}\)かつ\(m=0\)のときである。

このとき
$$
\dfrac{k}{k+1}\left(\dfrac{a_{1}+\cdots+a_{k}}{k}-(a_{1}\cdots a_{k})^{\frac{1}{k}}\right)=m=0
$$
なので
$$\dfrac{a_{1}+\cdots+a_{k}}{k}=(a_{1}\cdots a_{k})^{\frac{1}{k}}$$
であり, 仮定より\(a_{1}=\cdots=a_{k}\)である。

よって
$$a_{k+1}=(a_{1}\cdots a_{1})^{\frac{1}{k}}=(a_{1}^k)^{\frac{1}{k}}=a_{1}$$
であるから, \(a_{1}=\cdots=a_{k}=a_{k+1}\)が成り立つ。

よって等号が成り立つのは\(a_{1}=\cdots=a_{k}=a_{k+1}\)のとき。

したがって\(n=k+1\)のときにもAM-GMは成り立つ。