三角関数の定義と具体的な値の求め方

三角関数とは
三角関数の求め方の例

三角関数とは

三角関数の定義

$xy$平面上で, $x$軸から反時計回りに角度$\theta$の方向に原点から伸びる半直線と単位円$x^2+y^2=1$の交点を$P$とする。このとき
$P$の$x$座標を$\cos \theta$
$P$の$y$座標を$\sin \theta$
と定める。

また, $\theta \neq \dfrac{\pi}{2}+2n\pi$($n$は整数)のとき
$\tan \theta = \dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}$
と定める。

単位円とは, 中心が原点で半径$1$の円のことです。

まず角度$\theta$に対し, $\cos \theta$と$\sin \theta$を考えます。
次に原点から伸びる半直線で, $x$軸との角度が$\theta$であるものを考えます。

このとき, この単位円と直線には必ず交点$P$がただ一つ現れます。この交点の$x$座標を$\cos \theta$, $y$座標を$\sin \theta$とするのです。

さらに上で定義した$\cos \theta$, $\sin \theta$に対し, $\tan \theta = \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}$と定義します。

ただし$\theta=\dfrac{\pi}{2}+2n\pi$($n$は整数)であるとき, $P$は$y$軸上の点になるので, $P$の$x$座標, すなわち$\cos \theta$は$0$となり, $\tan \theta$の値を考えることができません。

したがって, $\tan \theta$の値は$\theta \neq \dfrac{\pi}{2}+2n\pi$($n$は整数)のときのみ考えます。

三角関数の求め方の例

考える角度がいわゆる有名角の場合は, 図から三角関数の値を求められます。

例

$\theta = \dfrac{\pi}{4}$の場合を考えます。

図のように, $x$軸からはかった角度が$\dfrac{\pi}{4}$の方向に原点から伸びる半直線を考えます（図は線分ですが）。

$\triangle POQ$は$\angle POQ = \dfrac{\pi}{4}$の直角三角形なので, $OP : OQ = \sqrt{2} : 1$, $OP : PQ = \sqrt{2} : 1$です。

$OP=1$なので, これより$OQ = PQ = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$であることがわかります。

$\cos\dfrac{\pi}{4}$の値は$P$の$x$座標, つまり$OQ$の長さなので, $\cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$となります。

$\sin\dfrac{\pi}{4}$の値は$P$の$y$座標, つまり$PQ$の長さなので, $\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$となります。

また,
$$\tan\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sin\dfrac{\pi}{4}}{\cos\dfrac{\pi}{4}}=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}=1$$
となります。

例

$\theta = \dfrac{2}{3}\pi$の場合を考えます。

図のように, $x$軸からはかった角度が$\dfrac{2}{3}\pi$の方向に原点から伸びる半直線を考えます。

$\triangle POQ$は$\angle POQ = \dfrac{\pi}{3}$の直角三角形なので, $OP : OQ = 2 : 1$, $OP : PQ = 2 : \sqrt{3}$です。

$OP=1$なので, これより$OQ = \dfrac{1}{2}$, $PQ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$であることがわかります。

$\cos\dfrac{2}{3}\pi$の値は$P$の$x$座標で, $OQ$の長さは$\dfrac{1}{2}$なので, 図より$\cos\dfrac{2}{3}\pi = -\dfrac{1}{2}$となります。

$\sin\dfrac{2}{3}\pi$の値は$P$の$y$座標で, $PQ$の長さは$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$なので, 図より$\sin\dfrac{2}{3}\pi = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$となります。

また,
$$\tan\dfrac{2}{3}\pi=\dfrac{\sin\dfrac{2}{3}\pi}{\cos\dfrac{2}{3}\pi}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{-\dfrac{1}{2}}=-\sqrt{3}$$
となります。