三角関数の相互関係と例題

三角関数の相互関係
三角関数の相互関係を用いた例題
1. 三角関数の値を求める問題
2. 証明問題

三角関数の相互関係

$\theta$を実数とします。原点を始点とし, $x$軸となす角が$\theta$である半直線と単位円$x^2+y^2=1$の交点の$x$座標を$\cos\theta$, $y$座標を$\sin\theta$と定義するのでした（三角関数の定義についてはこちら）。

この定義から, 次の三角関数の相互関係が成り立ちます。

三角関数の相互関係

$\theta$を実数とするとき, 次が成り立つ。

(1)$\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$
(2)$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$
(3)$1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$

ただし(1), (3)では$\theta \neq \dfrac{\pi}{2}+2n\pi$(ただし$n$は整数)とする。

証明

(1)
三角関数の定義より, $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$である。

(2)
原点から$x$軸となす角が$\theta$の方向に伸びる半直線と単位円$x^2+y^2=1$の交点が$(\cos\theta, \sin\theta)$なので, $(\cos\theta, \sin\theta)$は単位円上の点である。
したがって$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$が成り立つ。

(3)
(2)より$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$である。
$\theta \neq \dfrac{\pi}{2}+2n\pi$($n$は整数)なら$\cos\theta \neq 0$なので, 両辺を$\cos^2\theta$で割って$1+\left(\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\right)^2=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$を得る。

$\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\tan\theta$なので, $1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$となる。

これらの相互関係は基本的で, 三角関数が現れる問題でも非常によく用いる関係です。

これらの関係はつまり, 一つの三角関数の値から別の三角関数の値を求めることができる, ということを言っています。

三角関数の相互関係を用いた例題

三角関数の値を求める問題

例題

$\sin\theta=\dfrac{2}{3}$のとき, $\cos\theta$の値を求めよ。

解答

$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$より, $\cos^2\theta=1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{5}{9}$

よって, $\cos\theta=\pm\dfrac{\sqrt{5}}{3}$

$\theta$の値の範囲を制限すると, 三角関数の値が符号も含めてただ一つに定まる場合もあります。

例題

$\tan\theta=-2$, $\dfrac{\pi}{2}<\theta<\pi$のとき, $\cos\theta$と$\sin\theta$の値を求めよ。

解答

$1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$より, $\dfrac{1}{\cos^2\theta}=1+(-2)^2=5$

$\cos^2\theta=\dfrac{1}{5}$となるが, $\dfrac{\pi}{2}<\theta<\pi$より$\cos\theta < 0$なので, $\cos\theta=-\dfrac{1}{\sqrt{5}}$

$\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$より$\sin\theta=\tan\theta\cos\theta$なので, $\sin\theta=-2\cdot\left(-\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$

証明問題

三角関数の相互関係を用いることで、等式の証明が可能な場合もあります。

例題

次の等式を証明せよ。
$$(\sin\theta+\cos\theta)^2+(\sin\theta-\cos\theta)^2=2$$

解答

$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$であることに注意する。
$$
\begin{aligned}
&(\sin\theta+\cos\theta)^2+(\sin\theta-\cos\theta)^2 \\
&=\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta+\sin^2\theta-2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta \\
&=2(\sin^2\theta+\cos^2\theta) \\
&=2
\end{aligned}
$$

見出し

次の等式を証明せよ。
$$\dfrac{1}{1-\sin\theta}+\dfrac{1}{1+\sin\theta}=\dfrac{2}{\cos^2\theta}$$

解答

$1-\sin^2\theta=\cos^2\theta$であることに注意する。
$$
\begin{aligned}
&\dfrac{1}{1-\sin\theta}+\dfrac{1}{1+\sin\theta} \\
&=\dfrac{(1+\sin\theta)+(1-\sin\theta)}{(1-\sin\theta)(1+\sin\theta)} \\
&=\dfrac{2}{1-\sin^2\theta} \\
&=\dfrac{2}{\cos^2\theta}
\end{aligned}
$$

例題

次の等式を証明せよ。
$$\tan\theta+\dfrac{1}{\tan\theta}=\dfrac{1}{\sin\theta\cos\theta}$$

解答

$1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$であることと, $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$より$\dfrac{1}{\tan\theta}=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$であることに注意する。
$$
\begin{aligned}
&\tan\theta+\dfrac{1}{\tan\theta} \\
&=\dfrac{\tan^2\theta+1}{\tan\theta} \\
&=\dfrac{1}{\cos^2\theta}\dfrac{1}{\tan\theta} \\
&=\dfrac{1}{\cos^2\theta}\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta} \\
&=\dfrac{1}{\sin\theta\cos\theta}
\end{aligned}
$$