因数定理を用いた高次方程式の解き方と例、練習問題

高次方程式の解き方
練習問題

高次方程式の解き方

高次方程式とは

次数が$3$以上である方程式のことを高次方程式といいます。

たとえば, $x$の方程式$x^3+3x+1=0$や, $a$の方程式$2a^5-a^4+3a+1=0$などは高次方程式です。

$1$次方程式$ax+b=0 \ (a \neq 0)$や, $2$次方程式$ax^2+bx+c=0 \ (a \neq 0)$は高次方程式とはいいません。

ですが, 大事なのは高次方程式が解けるようになることであり, 高次方程式という言葉自体はそんなに重要ではないですので, 高次方程式という言葉自体は知っている程度で大丈夫です。

高次方程式の解き方

高次方程式$f(x)=0$を解く際に重要なのは, まず$f(x)$を因数分解するということです。

$x$の高次方程式$f(x)=0$を考えます。

高次方程式の解き方

$f(k)=0$となる$k$をみつける。
因数定理より$f(x)$は$x-k$で割り切れるので, $f(x)=(x-k)g(x)$となる多項式$g(x)$を多項式の割り算などにより見つける。
$g(l)=0$となる$l$をみつける。
$g(x)$は$x-l$で割り切れるので, $g(x)=(x-l)h(x)$となる多項式$h(x)$を多項式の割り算などにより見つける。
以下同様の手順を繰り返し, $f(x)$を因数分解する。
解きやすい形まで因数分解できたら, 実際に解を求める。

ここで大事なのは$f(k)=0$となる$k$を見つけることですが, 多項式
$$f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$$
に対し, $f(k)=0$となる整数$k$は$a_0$の約数である, ということが知られています。

$f(x)=x^3-2x^2-x+2$に対し, $f(k)=0$となる整数$k$を求めたいとします。

このとき$k$は$2$の約数なので, $k$は$\pm 1, \pm 2$のいずれかであるとわかります。

そして実際に代入してみると, $f(1)=f(-1)=f(2)=0$が成り立つことがわかります。

このように
$$f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$$
の形の多項式では, 定数項をみるだけで, $f(k)=0$となる$k$が比較的簡単に求められます。

解き方の例

例

方程式
$$x^4-4x^3-x^2+16x-12=0$$
の解を求める。

$$f(x)=x^4-4x^3-x^2+16x-12$$
とする。

$f(k)=0$となるような整数$k$は$-12$の約数なので, $k$は
$$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm12$$
のいずれかである。

実際に代入すると$f(1)=0$なので, $f(x)$は$x-1$で割り切れる。

実際に$f(x)$を$x-1$で割ると
$$f(x)=(x-1)(x^3-3x^2-4x+12)$$
となる。

次に
$$g(x)=x^3-3x^2-4x+12$$
とすると, $g(l)=0$となる整数$l$は$12$の約数なので
$$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm12$$
のいずれかである。

実際に代入すると$g(2)=0$であるので, $g(x)$は$x-2$で割り切れる。

実際に$g(x)$を$x-2$で割ると
$$g(x)=(x-2)(x^2-x-6)$$
となる。

また, 通常の因数分解により$$
x^2-x-6=(x-3)(x+2)$$
と因数分解できる。

したがって
$$
\begin{aligned}
&f(x)=(x-1)g(x) \\
&=(x-1)(x-2)(x^2-x-6) \\
&=(x-1)(x-2)(x-3)(x+2)
\end{aligned}
$$
と因数分解できる。

これより, $f(x)=0$となるのは$x-1, x-2, x-3, x+2$のいずれかが$0$に等しいときなので, 求める解は$x=1, 2, 3, -2$である。

練習問題

問題

方程式
$$x^3+2x^2-11x-12=0$$
を解け。

解答

$$f(x)=x^3+2x^2-11x-12$$
とする。

$f(-1)=0$なので$f(x)$は$x+1$で割り切れ,
$$f(x)=(x+1)(x^2+x-12)$$
となる。

また通常の因数分解により
$$x^2+x-12=(x-3)(x+4)$$
である。

よって
$$
\begin{aligned}
&x^3+2x^2-11x-12 \\
&=(x+1)(x^2+x-12) \\
&=(x+1)(x-3)(x+4)
\end{aligned}
$$
と因数分解できる。

したがって, $f(x)=0$となるのは$x+1$, $x-3$, $x+4$のいずれかが$0$に等しい時なので, 求める解は$x=-1, 3, -4$である。

問題

方程式
$$x^4-3x^3+2x^2+2x-4=0$$
を解け。

解答

$$f(x)=x^4-3x^3+2x^2+2x-4$$
とする。

$f(2)=0$なので$f(x)$は$x-2$で割り切れ,
$$f(x)=(x-2)(x^3-x^2+2)$$
となる。

次に$g(x)=x^3-x^2+2$とすると, $g(-1)=0$なので$g(x)$は$x+1$で割り切れ,
$$g(x)=(x+1)(x^2-2x+2)$$
となる。

よって
$$
\begin{aligned}
&x^4-3x^3+2x^2+2x-4 \\
&=(x-2)(x^3-x^2+2) \\
&=(x-2)(x+1)(x^2-2x+2)
\end{aligned}
$$
と因数分解される（$x^2-2x+2$は整数係数の範囲でこれ以上因数分解できないので, このままにしておきます）。

これより$f(x)=0$となるのは$x-2$, $x+1$, $x^2-2x+2$のいずれかが$0$に等しいときである。

$x-2=0$のとき$x=2$, $x+1=0$のとき$x=-1$, $x^2-2x+2=0$のときは$2$次方程式の解の公式より$x=1 \pm i$である。

したがって, 求める解は$x=2$, $-1$, $1 \pm i$である。

問題

方程式
$$x^3=1$$
を解け。

解答

方程式$x^3-1=0$の解を求めればよい。
$f(x)=x^3-1$とする。

$f(1)=0$なので, $f(x)$は$x-1$で割り切れ,
$$f(x)=(x-1)(x^2+x+1)$$
となる。

よって, $f(x)=0$となるのは$x-1$, $x^2+x+1$のいずれかが$0$に等しいときである。

$x-1=0$のとき$x=1$であり, $x^2+x+1=0$のとき$2$次方程式の解の公式より$x=\dfrac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}$である。

したがって, 求める解は$x=1$, $\dfrac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}$である。