剰余の定理の証明と例・練習問題

剰余の定理とは
剰余の定理の例
剰余の定理の証明
練習問題

剰余の定理とは

剰余の定理とは, 整式を1次式で割ったときの余りを与える定理です。

剰余の定理

定数$k$に対し, 整式$P(x)$を$x-k$で割ったときの余りは$P(k)$に等しい。

整式$P(x)$を$x-k$で割り算するとき, 筆算などを用いて直接余りを計算することもできますが, 特に$P(x)$の次数が高くなると相応に手間がかかります。また, そもそも$P(x)$の形が具体的にわからないこともあります。

そんなときに使えるのが, 上の剰余の定理です。

整式$P(x)$に$x=k$を代入するだけで, $P(x)$を$x-k$で割った余りが求まってしまうわけです。

特に$P(k)=0$が成り立てば, $P(x)$を$x-k$で割った余りは$0$なので, $P(x)$は$x-k$で割り切れるとわかります。

これは整式の割り算における余りに関する問題などで使える, 非常に便利な性質です。

剰余の定理の例

例

整式$P(x)=x^3-2x^2+x+2$を$x-1$で割った余りは$P(1)=2$である。

例

整式$P(x)=x^{100}-1$を$x+1$で割った余りは$P(-1)=(-1)^{100}-1=0$である。

すなわち, $x^{100}-1$は$x+1$で割り切れる。

剰余の定理の証明

剰余の定理は, 整式の割り算を考えることで証明できます。

剰余の証明

$k$を定数とする。整式$P(x)$を$x-k$で割ったときの商を$Q(x)$, 余りを$r$とする。
ただし$x-k$は$1$次式なので, $r$は定数である。

いま$P(x)=(x-k)Q(x)+r$であるので, 両辺に$x=k$を代入すると
$$P(k)=(k-k)Q(k)+r=0\cdot Q(k)+r=r$$
となる。

したがって$P(k)=r$であるので, $P(x)$を$x-k$で割ったときの余りは$P(k)$に等しい。

練習問題

実際にいくつか問題を解いてみてください。

問題

整式$P(x)=x^3-3x^2+4x-5$を次の整式で割った余りを求めよ。

(1)$x-2$
(2)$x+1$

解答

(1)
$$P(2)=2^3-3\cdot 2^2+4\cdot 2-5=-1$$
なので, 求める余りは$-1$

(2)
$$P(-1)=(-1)^3-3\cdot (-1)^3+4\cdot (-1)-5=-13$$
なので, 求める余りは$-13$

問題

整式$P(x)=x^3+ax^2-5x+3$が$x+1$で割り切れるとき, 定数$a$の値を求めよ。

解答

$P(x)$を$x+1$で割ったときの余りが$0$に等しいので, $P(-1)=0$である。

$$P(-1)=(-1)^3+a\cdot (-1)^2-5\cdot (-1)+3=a+7$$
なので, $a+7=0$である。

したがって$a=-7$

問題

整式$P(x)$を$x-1$で割ると余りが$2$, $x-3$で割ると余りが$6$である。このとき, $P(x)$を$(x-1)(x-3)$で割ったときの余りを求めよ。

解答

$P(x)$を$(x-1)(x-3)$で割ったときの余りは$1$次以下なので, $ax+b$($a, b$は定数)とおける。

$P(x)$を$(x-1)(x-3)$で割ったときの商を$Q(x)$とおくと, $P(x)=(x-1)(x-3)Q(x)+ax+b$となる。

$P(x)$を$x-1$で割ると余りが$2$なので, $P(1)=2$である。

一方, $P(x)=(x-1)(x-3)Q(x)+ax+b$の両辺に$x=1$を代入すると
$$P(1)=(1-1)(1-3)Q(1)+a\cdot 1+b=a+b$$
である。

よって$a+b=2$を得る。

また, $P(x)$を$x-3$で割ると余りが$6$なので, $P(3)=6$である。

一方, $P(x)=(x-1)(x-3)Q(x)+ax+b$の両辺に$x=3$を代入すると
$$P(3)=(3-1)(3-3)Q(3)+a\cdot 3+b=3a+b$$
である。

よって$3a+b=6$を得る。

以上により得られる連立方程式
$$
\begin{cases}
a+b=2 \\
3a+b=6
\end{cases}
$$
を解くと, $a=2, b=0$を得る。

したがって, 求める余りは$2x$である。