絶対値は計算の中でよく登場する概念です。絶対値の考え方を理解しましょう。
- 絶対値とは「原点からの距離」である
- \( a \geqq 0\)のとき\(\rvert a \lvert = a\)であり、\( a < 0\)のとき\(\rvert a \lvert = -a\)である。
絶対値
数直線の点
絶対値について説明するために、数直線上の点について知っておく必要があります。まずは数直線上の点について解説しておきます。
数直線において、点\(P\)に実数\(a\)が対応しているとする。
このとき\(a\)を点\(P\)の座標といい、\(P(a)\)と表す。
例えば、数直線上で点\(P\)が原点から右に5だけ進んだ点である場合、点\(P\)の座標は\(5\)であり、\(P(5)\)と表す。
数直線上で点\(P\)が原点から左に\(\dfrac{3}{2}\)だけ進んだ点である場合、点\(P\)の座標は\(-\dfrac{3}{2}\)であり、\(P\left(-\dfrac{3}{2}\right)\)と表す。
絶対値とは
いよいよ絶対値の定義を解説します。数直線で考えることが大事になります。
\(a\)を実数とする。
数直線上で、原点\(O\)(座標が\(0\)の点)と点\(P(a)\)の距離を\(a\)の絶対値といい、これを\(\lvert a \rvert \)で表す。
例えば、数直線上で原点\(O\)と点\(P(3)\)の距離は\(3\)なので、\(3\)の絶対値は\(3\)である。つまり、\(\lvert 3 \rvert = 3\)である。
数直線上で原点\(O\)と点\(P\left(\dfrac{6}{11}\right)\)の距離は\(\dfrac{6}{11}\)なので、\(\dfrac{6}{11}\)の絶対値は\(\dfrac{6}{11}\)である。つまり、\(\left| \dfrac{6}{11}\right| = \dfrac{6}{11}\)である。
数直線上で原点\(O\)と点\(P\left(-\dfrac{5}{3}\right)\)の距離は\(\dfrac{5}{3}\)なので、\(-\dfrac{5}{3}\)の絶対値は\(\dfrac{5}{3}\)である。 つまり、\(\left| -\dfrac{5}{3} \right| = \dfrac{5}{3}\)である。
※\(\lvert -2 \rvert = -2\)としないように注意しましょう。
原点\(O\)と点\(P(-2)\)の距離は2なので、\(\lvert -2 \rvert = 2\)です。
絶対値の計算
より一般に、絶対値は次のように求めることができます。
\(a\)を実数とするとき、次が成り立つ。
\(a \geqq 0\)のとき、\(\lvert a \rvert = a\)
\(a < 0\)のとき、\(\lvert a \rvert = -a\)
\(a\)が\(0\)以上のときは\(a\)
\(a\)が\(0\)未満のときは\(-a\)
が絶対値になるということですね。
\(2 \geqq 0\)なので\(\lvert 2 \rvert = 2\)
\(-\sqrt{2} < 0\)なので\(\lvert -\sqrt{2} \rvert = -(-\sqrt{2}) = \sqrt{2}\)
といった具合です。
証明が見たい人は以下のタブを開いてください。
\(a\)を実数とする。
[1]\(a \geqq 0\)のとき
数直線上で原点\(O\)と点\(P(a)\)の距離は\(a\)なので、
\(\lvert a \rvert = a\)である。
[2]\(a < 0\)のとき
数直線上で原点\(O\)と点\(P(a)\)の距離は\(-a\)なので、
\(\lvert a \rvert = -a\)である。
次の値を求めよ。
(1)\(\lvert 5 \rvert\)
(2)\(\lvert -4 \rvert\)
(3)\(\lvert 7-4 \rvert\)
(4)\(\left| \dfrac{1}{2} – \dfrac{3}{2} \right|\)
(5)\(\lvert \sqrt{3}-2 \rvert\)
(1)
\( 5 \geqq 0\)なので\(\lvert 5 \rvert = 5\)
(2)
\( -4 < 0\)なので\(\lvert -4 \rvert = -(-4) = 4\)
(3)
\(\lvert 7-4 \rvert = \lvert 3 \rvert = 3\)
(4)
\(\left| \dfrac{1}{2} – \dfrac{3}{2} \right| = \left| -1 \right| = -(-1) = 1\)
(5)
\(\sqrt{3} < \sqrt{4}\)より\(\sqrt{3} < 2\)であるので、
\(\sqrt{3}-2 < 0\)である。よって、
\(\lvert \sqrt{3}-2 \rvert = -(\sqrt{3}-2) = 2-\sqrt{3}\)
※\(A < B\)のとき\(A-B < 0\)になることに気を付けましょう。
このように、絶対値記号の中身が\(0\)以上なのか、負なのかをきちんと判断することが大事なわけです。
では実際に問題を解いてみましょう。
次の値を求めよ。
(1)\(\lvert -11 \rvert \)
(2)\(\lvert -7+13 \rvert \)
(3)\(\left| \dfrac{11}{4} – \dfrac{15}{2} \right|\)
(4)\(\lvert 5 – \sqrt{29} \rvert \)
(5)\(\lvert 2\sqrt{3} – 3 \rvert\)
(6)\(\lvert \pi – 3 \rvert \)
(4)\(5 = \sqrt{25}\)であることより、\(5 – \sqrt{29}\)の正負を判断する。
(5)\(2\sqrt{3}=\sqrt{12}\)、\(3 = \sqrt{9}\)より\(2\sqrt{3} – 3\)の正負を判断する。
(6)\(\pi = 3.14 \ldots\)より\(\pi – 3\)の正負を判断する。
(1)
\(\lvert -11 \rvert = -(-11) = 11\)
(2)
\(\lvert -7+13 \rvert = \lvert 6 \rvert = 6\)
(3)
\(\left| \dfrac{11}{4} – \dfrac{15}{2} \right| = \left| -\dfrac{19}{4} \right|\)
\(=-\left( -\dfrac{19}{4} \right) = \dfrac{19}{4}\)
(4)
\(5 – \sqrt{29} = \sqrt{25} – \sqrt{29} < 0\)なので、
\(\lvert 5 – \sqrt{29} \rvert = -(5 – \sqrt{29}) = \sqrt{29} – 5\)
(5)
\(2\sqrt{3} – 3 = \sqrt{12} – \sqrt{9} \geqq 0\)なので、
\(\lvert 2\sqrt{3} – 3 \rvert = 2\sqrt{3} – 3\)
(6)
\(\pi = 3.14 \ldots\)なので、\(\pi – 3 = 0.14 \ldots \geqq 0\)
よって、\(\lvert \pi – 3 \rvert = \pi – 3\)
絶対値とは、数直線上での
「その数と原点の距離」である。
実数\(a\)の絶対値は
\(a \geqq 0\)なら\(\lvert a \rvert = a\)
\(a < 0\)なら\(\lvert a \rvert = -a\)
で求められる。
絶対値記号の中身の符号によって、絶対値の求め方が変わる。
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