ここでは指数法則、そして指数の計算方法を学びます。
指数法則は計算を行う上でとても重要です。ポイントをおさえましょう。
指数法則を使うと、指数の計算が一瞬でできるようになる。
指数法則とは、以下の性質のことをいう。
(ただし\(m\)、\(n\)は自然数で、\(a\)は実数)
- \(a^m{\times}a^n=a^{m+n}\)
- \((a^m)^n=a^{mn}\)
- \((a{\times}b)^m=a^m{\times}b^m\)
- \(\left (\dfrac{a}{b} \right)^m=\dfrac{a^m}{b^m}\)
指数法則
指数の確認
まずは指数の意味を確認しましょう。
実数\(a\)と自然数\(m\)に対し、\(a\)を\(m\)回掛け算したものを\(a^m\)と書きます。
つまり、\(a^m=\underbrace{a{\times}a{\times}\cdots{\cdots}a}_{m個}\)です。
例えば、
\(2^4=2\times2\times2\times2\) 、
\(3^5=3\times3\times3\times3\times3\)、
といった具合です。
指数法則
指数の計算をするきに使える、いくつかの便利な公式があります。
これを使えるようになると、計算がぐっと楽になります！
それが以下の「指数法則」です。
\(m\)、\(n\)を自然数とするとき、次が成り立つ。
- \(a^m{\times}a^n=a^{m+n}\)
- \((a^m)^n=a^{mn}\)
- \((a{\times}b)^m=a^m{\times}b^m\)
- \(\left (\dfrac{a}{b} \right)^m=\dfrac{a^m}{b^m}\)
たとえば、
\(10^3{\times}10^5=10^{(3+5)}=10^8\) ､
\((3^5)^2 = 3^{5{\times}2} = 3^{10}\)､
\((4{\times}7)^3 = 4^3{\times}7^3\)､
\(\left(\dfrac{5}{7}\right)^9 = \dfrac{5^9}{7^9}\)
のように計算することができます。
指数法則を使うと、簡単に累乗の計算ができるわけです。
証明を見たい人は以下のタブを開いてください。
\(a^m\) は \(a\) を \(m\) 回掛け算したもの、\(a^n\) は \(a\) を \(n\) 回掛け算したものなので、
\(a^m{\times}a^n\)
\(=(\underbrace{a{\times}a{\times}\cdots{\times}a}_{m個}){\times}(\underbrace{a{\times}a{\times}\cdots{\times}a}_{n個})\)
\(=\underbrace{a{\times}a{\times}\cdots{\times}a}_{m+n個}=a^{m+n}\)
同じように、
\((a^m)^n\)
$$=\underbrace{(\underbrace{a{\times}a{\times}\cdots{\times}a}_{m個}){\times}(\underbrace{a{\times}a{\times}\cdots{\times}a}_{m個}){\times}\cdots{\times}(\underbrace{a{\times}a{\times}\cdots{\times}a}_{m個})}_{n個}$$
\(=\underbrace{a{\times}a{\times}\cdots{\times}a}_{m{\times}n個}=a^{mn}\)
\((a{\times}b)^m=\)
\(\underbrace{(a{\times}b){\times}(a{\times}b){\times}\cdots{\times}(a{\times}b)}_{m個}\)
\(=\underbrace{(a{\times}a{\times}\cdots{\times}a)}_{m個}\times\underbrace{(b{\times}b{\times}\cdots{\times}b)}_{m個}\)
\(=a^m{\times}b^m\)
\(\left (\dfrac{a}{b} \right)^m=\)
\(\underbrace{\dfrac{a}{b}{\times}\dfrac{a}{b}{\times}\cdots{\times}\dfrac{a}{b}}_{m個}\)
\(=\underbrace{\dfrac{a{\times}a{\times}\cdots{\times}a}{b{\times}b{\times}\cdots{\times}b}}_{m個}\)
\(=\dfrac{a^m}{b^m}\)
よって、等式が成り立つことが分かります。
指数が自然数でないときも同様の指数法則が成り立ちますが、そちらは数2で扱います。
指数法則を使った計算
上で指数法則を確認しました。実際に指数法則を使って問題を解いてみましょう。
いくつかの指数法則を組み合わせることもあります。
まずは数字の計算をやってみましょう。
次の計算をしなさい。ただし、答えは指数を用いた表記( \(3^5\) など)を用いてよいとする。
(1)\(2^4\times2^5\)
(2)\((5^3)^4\)
(3)\(10^7\times10^9\times\dfrac{1}{10^{15}}\)
(4)\(\dfrac{7^5}{14^8}\times2^8\)
指数法則を使って解けばよい。
(1)
\(a^m{\times}a^n=a^{m+n}\) なので、
\(2^4\times2^5=2^{(4+5)}=2^9\)
(2)
\((a^m)^n=a^{mn}\) なので、
\((5^3)^4=5^{3\times4}=5^{12}\)
以下も同じように指数法則を使います。
(3)
\(10^7\times10^9\times\dfrac{1}{10^{15}}=10^{16}\times\dfrac{1}{10^{15}}\)
\(=10^1\times10^{15}\times\dfrac{1}{10^{15}}=10\)
(4)
\(\dfrac{7^5}{14^8}\times2^8=\dfrac{7^5}{(7\times2)^8}\times2^8\)
\(=\dfrac{7^5}{7^8\times2^8}\times2^8=7^5\times\dfrac{1}{7^5}\times\dfrac{1}{7^3}\times\dfrac{1}{2^8}\times2^8\)
\(=\dfrac{1}{7^3}\)
指数法則はこのように使います。
もちろん、文字式の計算をするときにも、同じように指数法則が使えます。
次は文字式にも指数法則を使ってみましょう。
次の計算をしなさい。
(1)\(x^3{\times}x^2\)
(2)\((2x^4)^5\)
(3)\((3x^{3}y^2)^4\)
(4)\(\left (\dfrac{x^2}{y} \right)^5\)
指数法則を用いて計算すればよい。
(1)
\(x^3{\times}x^2=x^{(2+3)}=x^5\)
(2)
\((2x^4)^5=2^5{\times}(x^4)^5=32{\times}x^{4\times5}=32{\times}x^{20}=32x^{20}\)
(3)
\((3x^{3}y^2)^4=3^4{\times}(x^3)^4{\times}(y^2)^4=81{\times}x^{3\times4}y^{2\times4}=81{\times}x^{12}{\times}y^8=81x^{12}y^8\)
(4)
\(\left (\dfrac{x^2}{y} \right)^5=\dfrac{(x^2)^5}{y^5}=\dfrac{x^{2\times5}}{y^5}=\dfrac{x^{10}}{y^5}\)
指数法則とは以下の性質のことをいう。
- \(a^m{\times}a^n=a^{m+n}\)
- \((a^m)^n=a^{mn}\)
- \((a{\times}b)^m=a^m{\times}b^m\)
- \(\left (\dfrac{a}{b} \right)^m=\dfrac{a^m}{b^m}\)
指数を用いた計算には、指数法則を積極的に使うべし！
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