普通の数に乗法（掛け算）があるように、単項式、多項式の乗法を考えます。
（単項式・多項式の加減法についてはこちら）
- 単項式の積は、指数法則を使って計算する。
- 多項式の積は、単項式の積と分配法則を使って計算する。
- 多項式の積を計算して単項式の和の形に表すことを、展開するという。
単項式の乗法
指数法則
単項式の積の計算は、指数法則を用いて行います。指数法則とは、指数の計算に関する性質です。
まずは指数法則を確認します。
\(a\)、\(b\)を実数、\(n\)、\(m\)を自然数とする。次の(1)-(3)が成り立つ。
(1)\(a^m \times a^n = a^{m+n}\)
(2)\((a^m)^n = a^{mn}\)
(3)\((ab)^m = a^mb^m\)
指数法則の証明が見たい方は下のタブを開いてください。
\(a^m\) は \(a\) を \(m\) 回掛け算したもの、\(a^n\) は \(a\) を \(n\) 回掛け算したものなので、
$$
\begin{aligned}
&a^m{\times}a^n \\
&=(\underbrace{a{\times}a{\times}\cdots{\times}a}_{m個}){\times}(\underbrace{a{\times}a{\times}\cdots{\times}a}_{n個}) \\
&=(\underbrace{a{\times}a{\times}\cdots{\times}a}_{m+n個})=a^{m+n}
\end{aligned}
$$
同じように、
$$
\begin{aligned}
&(a^m)^n \\
&=\underbrace{(\underbrace{a{\times}a{\times}\cdots{\times}a}_{m個}){\times}(\underbrace{a{\times}a{\times}\cdots{\times}a}_{m個}){\times}\cdots{\times}(\underbrace{a{\times}a{\times}\cdots{\times}a}_{m個})}_{n個} \\
&=\underbrace{a{\times}a{\times}\cdots{\times}a}_{m{\times}n個}=a^{mn}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
&(ab)^m \\
&=\underbrace{(a{\times}b){\times}(a{\times}b){\times}\cdots{\times}(a{\times}b)}_{m個} \\
&=\underbrace{(a{\times}a{\times}\cdots{\times}a)}_{m個}\times\underbrace{(b{\times}b{\times}\cdots{\times}b)}_{m個} \\
&=a^m{\times}b^m
\end{aligned}
$$
よって、等式が成り立つことが分かります。
例えば、
(1)より\(a^3 \times a^2 = a^{2+3} = a^5\)
(2)より\((a^5)^4 = a^{5 \times 4} = a^{20}\)
(3)より\((xy)^6=x^6y^6\)
といったように計算できます。指数法則を使うと、指数の計算が簡単に行えるので便利なわけです。
単項式の乗法
単項式の積は、指数法則を用いて計算します。まず数字は数字、文字は文字同士で計算します。
\(3a^4 \times 5a^2\)であれば、\(3 \times 5\)と\(a^4 \times a^2\)の積として考えて、
$$
\begin{aligned}
&3a^4 \times 5a^2 = 3\times 5 \times a^{4+2} = 15a^6
\end{aligned}
$$
のように計算します。
実際には次の例題のように計算します。
次の式を計算せよ。
(1)\(2x^3 \times x^2\)
(2)\(3m^4n^2 \times (-2mn^3)\)
(3)\((-3a^2b^5)^3\)
(1)
$$
\begin{aligned}
&2x^3 \times x^2 = 2 \times x^{(3+2)}=2x^5
\end{aligned}
$$
(2)
$$
\begin{aligned}
&3m^4n^2 \times (-2)mn^3 = 3\times (-2) \times m^{4+1} \times n^{2+3} = -6m^5n^5
\end{aligned}
$$
(3)
$$
\begin{aligned}
&(-3a^2b^5)^3 = (-3)^3 \times (a^2)^3 \times (b^5)^3 = -27 \times a^{3 \times 2} \times b^{5 \times 3} = -27a^6b^{15}
\end{aligned}
$$
では実際に計算してみましょう。
次の式を計算せよ。
(1)\(5y^4 \times 2y^2\)
(2)\(4s^3t^2 \times (-3s^4t^3)\)
(3)\((-2k^3l^6)^3\)
(1)
$$
\begin{aligned}
&5y^4 \times 2y^2 = 5 \times 2 \times y^{4+2} = 10y^6
\end{aligned}
$$
(2)
$$
\begin{aligned}
&4s^3t^2 \times (-3s^4t^3) = 4 \times (-3) \times s^{3+4} \times t^{2+3} = -12s^7t^5
\end{aligned}
$$
(3)
$$
\begin{aligned}
&(-2k^3l^6)^3 = (-2)^3 \times k^{3 \times 3} \times l^{6 \times 3} = -8k^9l^{18}
\end{aligned}
$$
多項式の乗法
多項式の積の計算する方法を見ていきます。
多項式の積の計算には、分配法則と単項式の乗法を用います。
まずは分配法則を確認します。
単項式\(A\)、\(B\)、\(C\)に対し、次の等式が成り立つ。
\((A+B)C = AC+BC\)
\(A(B+C) = AB+AC\)
分配法則はつまり、足してから掛けるのと、掛けてから足すのは同じだ、ということを言っています。
多項式の積の計算は、この分配法則を使って行います。
例えば多項式\(x-3\)と多項式\(x+5\)の積であれば、黄色の部分をひとかたまりと考えて、
$$
\begin{aligned}
&(x-3)\bbox[#fff3b0, 2px]{(x+5)} \\
&=x \cdot \bbox[#fff3b0, 2px]{(x+5)}+(-3) \cdot \bbox[#fff3b0, 2px]{(x+5)} \\
&=x \cdot x+x \cdot 5 + (-3) \cdot x + (-3) \cdot 5 \\
&=x^2+5x+(-3x)-15=x^2+2x-15
\end{aligned}
$$
といったように計算します。
（この場合は中学で習った、展開公式を使ってもできますね。）
このように、多項式の積を計算して単項式の和の形で表すことを、もとの式を展開するといいます。
以降も同じように計算します。
次の式を展開せよ。
(1)\(-5(x^3-2x+3)\)
(2)\(2m(3m^2+5m+2)\)
(1)
$$
\begin{aligned}
&-5(x^3-2x+3) \\
&=(-5) \cdot x^3+(-5) \cdot (-2x)+(-5) \cdot 3 \\
&= -5x^3+10x-15
\end{aligned}
$$
(2)
$$
\begin{aligned}
&2m(3m^2+5m+2) \\
&=2m \cdot 3m^2+2m \cdot 5m+2m \cdot 2 \\
&=6m^3+10m^2+4m
\end{aligned}
$$
同じように計算してみましょう。
次の式を展開せよ。
(1)\(5a^3(2a^2+3a-1)\)
(2)\(-2x^2y(3x^2+2xy+3)\)
(3)\((x-2)(x-4)\)
(4)\((x^2-2)(5x+3)\)
(1)
$$
\begin{aligned}
&5a^3(2a^2+3a-1) \\
&=5a^3 \cdot 2a^2+5a^3 \cdot 3a+5a^3 \cdot (-1) \\
&=10a^5+15a^4-5a^3
\end{aligned}
$$
(2)
$$
\begin{aligned}
&-2x^2y(3x^2+2xy+3) \\
&=-2x^2y \cdot 3x^2+(-2x^2y) \cdot 2xy+(-2x^2y) \cdot 3 \\
&=-6x^4y-4x^3y^2-6x^2y
\end{aligned}
$$
(3)
$$
\begin{aligned}
&(x-2)\bbox[#fff3b0, 2px]{(x-4)} \\
&=x \cdot \bbox[#fff3b0, 2px]{(x-4)}+(-2) \cdot \bbox[#fff3b0, 2px]{(x-4)} \\
&=x \cdot x+x \cdot(-4)+(-2) \cdot x+(-2) \cdot (-4) \\
&=x^2+(-4x)+(-2x)+8 \\
&=x^2-6x+8
\end{aligned}
$$
積を考える多項式の項の数がふえても、同じように計算すればよいです。
たとえば、
$$(x-2)(2x^2+5x+2)$$
を計算するとします。\(x-2\)をひとかたまりとみて分配法則を使えばよいので、
$$
\begin{aligned}
&\bbox[#fff3b0, 2px]{(x-2)}(2x^2+5x+2) \\
&=\bbox[#fff3b0, 2px]{(x-2)} \cdot 2x^2+\bbox[#fff3b0, 2px]{(x-2)} \cdot 5x+\bbox[#fff3b0, 2px]{(x-2)} \cdot 2 \\
&=x \cdot 2x^2+(-2) \cdot 2x^2+x \cdot 5x+(-2) \cdot 5x+x\cdot 2+(-2) \cdot 2 \\
&=2x^3-4x^2+5x^2-10x+2x-4 \\
&=2x^3+x^2-8x-4
\end{aligned}
$$
のように計算すればよいです。
以後、掛け算を表す\(\cdot\)は省略します。
同じように計算してみましょう。
次の式を展開せよ。
(1)\((x+3)(4x^2+x+1)\)
(2)\((x-1)(x^2+x+1)\)
(3)\((x^2-3)(x^3-2x)\)
(1)
$$
\begin{aligned}
&\bbox[#fff3b0, 2px]{(x+3)}(4x^2+x+1) \\
&=\bbox[#fff3b0, 2px]{(x+3)}4x^2+\bbox[#fff3b0, 2px]{(x+3)}x+\bbox[#fff3b0, 2px]{(x+3)} \\
&=4x^3+12x^2+x^2+3x+x+3 \\
&=4x^3+13x^2+4x+3
\end{aligned}
$$
(2)
$$
\begin{aligned}
&\bbox[#fff3b0, 2px]{(x-1)}(x^2+x+1) \\
&=\bbox[#fff3b0, 2px]{(x-1)}x^2+\bbox[#fff3b0, 2px]{(x-1)}x+\bbox[#fff3b0, 2px]{(x-1)} \\
&=x^3-x^2+x^2-x+x-1 \\
&=x^3-1
\end{aligned}
$$
(3)
$$
\begin{aligned}
&\bbox[#fff3b0, 2px]{(x^2-3)}(x^3-2x) \\
&=\bbox[#fff3b0, 2px]{(x^2-3)}x^3+\bbox[#fff3b0, 2px]{(x^2-3)}(-2x) \\
&=x^5-3x^3-2x^3+6x \\
&=x^5-5x^3+6x
\end{aligned}
$$
さらに、多項式の積と、多項式の和・差を計算することもあります。この場合、積を先に計算してから和・差を求めます。（通常の計算のルールと同じ）
次の式を展開せよ。
$$
\begin{aligned}
&(1) \hspace{0.2em} 4(x^2-3x+3)-3(x^2+2x+4) \\
&(2) \hspace{0.2em} (x^2-1)(x+2)+(2x+3)(x+1)
\end{aligned}
$$
(1)
$$
\begin{aligned}
&4(x^2-3x+3)-3(x^2+2x+4) \\
&=4x^2-12x+12-3x^2-6x-12 \\
&=x^2-18x
\end{aligned}
$$
(2)
$$
\begin{aligned}
&\bbox[#fff3b0, 2px]{(x^2-1)}(x+2)+\bbox[#ffdde0, 2px]{(2x+3)}(x+1) \\
&=\bbox[#fff3b0, 2px]{(x^2-1)}x+\bbox[#fff3b0, 2px]{(x^2-1)}2+\bbox[#ffdde0, 2px]{(2x+3)}x+\bbox[#ffdde0, 2px]{(2x+3)} \\
&=x^3-x+2x^2-2+2x^2+3x+2x+3 \\
&=x^3+4x^2+5x+1
\end{aligned}
$$
指数法則を使うと、指数の計算が簡単にできる。
単項式の積は、指数法則を使って計算する。
多項式の積は、分配法則と単項式の積を計算することで求められる。
多項式の積を計算して単項式の和の形に表すことを、もとの式を展開するという。
コメント