普通の数と同じように、多項式にも足し算・引き算を考えます。今まで行ってきた文字式の計算と同じことをすれば問題ありません。
- 多項式の加法・減法を考えられる。
- 同類項をまとめることで、足し算・引き算ができる。
多項式の足し算・引き算
2つの多項式\(A\)、\(B\)に対し和\(A+B\)は、\(A\)と\(B\)の同類項をまとめることで計算できます。
同類項のまとめ方についてはこちら。
また、\(-B\)を「\(B\)の係数をすべて\(-1\)倍したもの」とし、差\(A-B\)は\(A+(-B)\)によって計算します。つまり、\(A\)と\(-B\)の和を考えればよいのです。
例えば、2つの多項式\(A\)、\(B\)を、
\(A = 4x^2+3x+2\)
\(B = 2x^2-6x+5\)
とします。
\(-B\)は\(B\)の係数をすべて\(-1\)倍すればよいので、\(-B=-2x^2+6x-5\)となります。
このとき、
$$
\begin{aligned}
&A+B=(4x^2+3x+2)+(2x^2-6x+5) \\
&=(4+2)x^2+(3-6)x+(2+5) \\
&=6x^2-3x+7 \\\\
&A-B=A+(-B) \\
&=(4x^2+3x+2)+(-2x^2+6x-5) \\
&=(4-2)x^2+(3+6)x+(2-5) \\
&=2x^2+9x-3
\end{aligned}
$$
のように計算します。
実際に計算してみましょう。
次の多項式\(A\)、\(B\)に対し、\(A+B\)と\(A-B\)を計算せよ。
(1)\(A=-x^2+3x+5\)、\(B=4x^2+4x-2\)
(2)\(A=4x^3+3x^2-2x-5\)、\(B=1-x+3x^2\)
(1)
$$
\begin{aligned}
&A+B=(-x^2+3x+5)+(4x^2+4x-2) \\
&=(-1+4)x^2+(3+4)x+(5-2)=3x^2+7x+3 \\
&=3x^2+7x+3 \\\\
&A-B=(-x^2+3x+5)-(4x^2+4x-2) \\
&=(-x^2+3x+5)+(-4x^2-4x+2) \\
&=(-1-4)x^2+(3-4)x+(5+2) \\
&=-5x^2-x+7
\end{aligned}
$$
(2)
$$
\begin{aligned}
&A+B=(4x^3+3x^2-2x-5)+(1-x+3x^2) \\
&=(4x^3+3x^2-2x-5)+(3x^2-x+1) \\
&=4x^3+(3+3)x^2+(-2-1)x+(-5+1) \\
&=4x^3+6x^2-3x-4 \\\\
&A-B=(4x^3+3x^2-2x-5)-(1-x+3x^2) \\
&=(4x^3+3x^2-2x-5)-(3x^2-x+1) \\
&=(4x^3+3x^2-2x-5)+(-3x^2+x-1) \\
&=4x^3+(3-3)x^2+(-2+1)x+(-5-1) \\
&=4x^3-x-6
\end{aligned}
$$
次の多項式\(A\)、\(B\)に対して\(A+B\)、\(A-B\)を計算せよ。
(1)\(A=x^2-4x+6\)、\(B=2x^2+3x+1\)
(2)\(A=-x^3+5x+5\)、\(B=-2x^2-4x-7\)
(3)\(A=x^4+2x^3+3x^2+4x+5\)、\(B=5x^4+4x^3+3x^2+2x+1\)
(1)
$$
\begin{aligned}
&A+B=(x^2-4x+6)+(2x^2+3x+1) \\
&=(1+2)x^2+(-4+3)x+(6+1) \\
&=3x^2-x+7 \\\\
&A-B=(x^2-4x+6)-(2x^2+3x+1) \\
&=(x^2-4x+6)+(-2x^2-3x-1) \\
&=(1-2)x^2+(-4-3)x+(6-1)x \\
&=-x^2-7x+5
\end{aligned}
$$
(2)
$$
\begin{aligned}
&A+B=(-x^3+5x+5)+(-2x^2-4x-7) \\
&=-x^3-2x^2+(5-4)x+(5-7) \\
&=-x^3-2x^2+x-2 \\\\
&A-B=(-x^3+5x+5)-(-2x^2-4x-7) \\
&=(-x^3+5x+5)+(2x^2+4x+7) \\
&=-x^3+2x^3+(5+4)x+(5+7) \\
&=-x^3+2x^2+9x+12
\end{aligned}
$$
(3)
$$
\begin{aligned}
&A+B=(x^4+2x^3+3x^2+4x+5)+(5x^4+4x^3+3x^2+2x+1) \\
&=(1+5)x^4+(2+4)x^3+(3+3)x^2+(4+2)x+(5+1) \\
&=6x^4+6x^3+6x^2+6x+6 \\\\
&A-B=(x^4+2x^3+3x^2+4x+5)-(5x^4+4x^3+3x^2+2x+1) \\
&=(x^4+2x^3+3x^2+4x+5)+(-5x^4-4x^3-3x^2-2x-1) \\
&=(1-5)x^4+(2-4)x^3+(3-3)x^2+(4-2)x+(5-1) \\
&=-4x^4-2x^3+2x+4
\end{aligned}
$$
多項式\(A\)、\(B\)に対し、同類項をまとめることで和\(A+B\)を計算できる。
また、\(B\)の係数をすべて\(-1\)倍した多項式を\(-B\)とし、差\(A-B\)は\(A+(-B)\)を計算することで求められる。
コメント